توان عملگری در ریاضی است که به صورت an نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

{{a^n = } atop { }} {{underbrace{a 	imes cdots 	imes a}} atop n}.

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

{{a 	imes n = } atop { }} {{underbrace{a + cdots + a}} atop n}

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.
توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

 توان با نماهای صحیح

عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.

 نماهای صحیح مثبت

ساده ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان 5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.

به طور قراردادی، a2 = a×a را مربع، a3 = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 32 «مربع سه» و 33 «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a0 = 1 و سایر توان‌ها را به صورت an+1 = a·an بنویسیم.

 نماهای صفر و یک

35 را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در همل ضری عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

  • هر عدد به توان یک برابر خودش است.

a1 = a

  • هر عدد به توان صفر برابر یک است.

a0 = 1

(برخی نویسندگان 00 را تعریف نشده می‌خوانند.) برای مثال: a0= a2-2= a2/a2 = 1 (در صورتی که a ≠ 0)

نماهای صحیح منفی

اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.

a−1 = 1/a

در نتیجه:

an = (an)−1 = 1/an

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3−5 = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/35.

 خواص

مهمترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

 a^{m + n} = a^m cdot a^n

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

 a^{m - n} = egin{matrix}frac{a^m}{a^n}end{matrix}

 (a^m)^n = a^{mn} !,

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 23 = 8 است در حالی که 32 = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 23 به توان چهار برابر است با 84 یا 4096، در حالی که 2 به توان 34 برابر است با 281 یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352.

 توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 106 برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 108 نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 108. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 103 = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است.

[ویرایش] توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند زیر در کامپیوتر مقادیر 2n را می‌توان برای یک متغیر n بیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

 توان‌های عدد صفر

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: 0n = 0.

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت 0n تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: 00 = 1.

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که 00 تعریف نشده‌است.)

 توان‌های منفی یک

توان منفی یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای منفی یک فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: (−1)2n+1 = −1

اگر نمای منفی یک زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: (−1)2n+2 = 1

توان‌های i

توان‌های i در دنباله‌های با دوره 4 کاربرد دارند.

i4n+1 = i i4n+2 = −1 i4n+3 = −i i4n+4 = 1

 

توان‌های e

عدد e حد دنباله‌ای با توان صحیح است:

 e=lim_{n  ightarrow +infty} left(1+frac{1}{n}  ight) ^n =lim_{n  ightarrow -infty} left(1+frac{1}{n}  ight) ^n .

و تقریباً داریم:

 eapprox 2.71828.

یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:

e^x  = left( lim_{m  ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m}  ight) ^m ight) ^x  = lim_{m  ightarrow pminfty} left(left(1+frac{1}{m}  ight) ^m ight) ^x  = lim_{m  ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m}  ight) ^{mx}  = lim_{mx  ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{mx}  ight) ^{mx}  = lim_{n  ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{n}  ight) ^n

x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.

 توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

  • عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
  • لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

توان‌های کسری

از بالا به پائین: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.
از بالا به پائین: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر  a عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

 x^n = a

و ریشه nام a نامیده می‌شود:

 x=a^{frac{1}{n}}

برای مثال: 81/3 = 2. حالا می‌توانیم توان m / n را به صورت زیر تعریف کنیم:

a^{frac{m}{n}} = left(a^{frac{1}{n}} ight)^m

برای مثال: 82/3 = 4.

 

توان‌های مرکب اعداد مرکب

خلاصه

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:

z0 = 1 zn+1 = z·zn zn = 1/zn (برای z ≠ 0)

توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:

e^z=lim_{n arrinfty}left(1+frac{z}{n} ight)^n

و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:

az = ebz

اگر:

a = eb

 

 مثلثات

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:

 e^{ix}=cos(x) + i sin(x)  e^{-ix}=cos(x) - i sin(x)

مانند:

 cos(x) = (e^{ix} + e^{-ix}) / {2}  sin(x) = (e^{ix} - e^{-ix}) / {2i}

 

 معادله لگاریتم

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله ez = 1 را به صورت z = 2πi·n حل نمود.

حالت قطبی

هر عدد مرکب به شکل a + ib را می‌توان به این صورت نوشت:

a+ib = r e^{ivarphi} = r left[ cosvarphi + i sinvarphi  ight]

برای یک مقدار حقیقی مثبت r و یک کمان varphi می‌توانیم از فرمول اویلر برای e^{ivarphi} استفاده کنیم:

(a+ib)^x = left( r e^{ivarphi}  ight)^x = r^x e^{i varphi x}.

حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: eid = cosd + isind. در نتیجه داریم:

r^{id} = left[ (r)^d  ight]^i = left [ left( e^{ln r}  ight)^d  ight]^i = e^{i d ln r} = cos(d ln r) + isin(d ln r).

حال اگر از r = e^{ln r} ! استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

(a+ib)^{c+id} = left( r e^{ivarphi}  ight)^{c+id} = left[ r^c e^{-varphi d}  ight] e^{i(varphi c + d ln r)}

 مثال

i^i = (e^{ipi/2})^i = e^{-pi/2} approx 0.20788ldots

این مقدار اصلی ii اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت i = e^{ipi/2 + 2pi icdot n} بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:

i^i = (e^{ipi/2 + 2pi icdot n})^i = e^{-pi/2 - 2picdot n}

 جدول توان

جدول kn، k در سمت چپ و n در بالای جدول است.

n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024 2
3 3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049 3
4 4 16 64 256 1,024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576 4
5 5 25 125 625 3,125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625 5
6 6 36 216 1,296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176 6
7 7 49 343 2,401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249 7
8 8 64 512 4,096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824 8
9 9 81 729 6,561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401 9
10 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n